大学物理笔记

Posted Sep 13, 2023 Updated Sep 21, 2023

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振动

简谐振动

简谐振动特点：加速度与位移的大小x成正比，而方向相反
简谐运动方程： $ x=Acos( \omega t+ \psi )$ 以弹簧为例推导：
$ F=-kx =ma$
$ \frac{dx^{2}}{dt} =- \frac{k}{m} x =- \omega ^2 x$
求该二阶常系数齐次线性方程可得 $ x=Acos( \omega t+ \psi )$

三大表达式：

$ x=Acos( \omega t+ \psi )$
$ v= \frac{dx}{dt} =-A \omega sin( \omega t+ \psi )=A \omega cos( \omega t+ \psi + \frac{\pi}{2} ) $
$ a=\frac{dv}{dt} =-A \omega^2 cos( \omega t+ \psi )=A \omega^2 cos( \omega t+ \psi +\pi) $

振幅，周期，频率，相位

振幅： $A=x_{max}$
弹簧振子周期： $T= \frac{2\pi}{\omega} =2 \pi \sqrt{ \frac{m}{k}}$
频率= $\frac{1}{T}$
圆频率：$ \omega $
周期和频率反应振动的快慢，仅与振动系统本身物理性质有关
相位：$\omega t+ \psi$
初相位： $ \psi$

常数 $A和 \psi$的确定

t=0时，$x_0=Acos \psi ,v_0=-A \omega sin \psi$
$ \frac{x_0^2}{A^2}=cos^2 \psi, \frac{v_0^2}{A^2 \omega^2}=sin^2 \psi $
解得：
$A= \sqrt{x_0^2+ \frac{v_0^2}{ \omega^2}}, tan \psi=\frac{-v_0}{ \omega x_0}$

旋转矢量

简谐运动的表示方法

解析法: $x=Acos( \omega t+ \psi) $
曲线法
旋转矢量法

旋转矢量在x轴上的投影点的运动为简谐运动

相位差

同一简谐运动

$x_1=Acos( \omega t_1 + \psi) ,x_2=Acos( \omega t_2+ \psi)$
$ \Delta \psi =( \omega t_2 + \psi)-( \omega t_1 + \psi)$
$ \Delta t= \frac{\Delta \psi}{ \omega}$

同频率，但不同的简谐运动

$x_1=A_1cos( \omega t+ \psi _1),x_2=A_2cos( \omega t + \psi _2) $
$\Delta \psi =\psi _2- \psi _1 $ (初相位差)

$ \Delta \psi= \psi _2 - \psi _1 $
大于0，2比1超前
小于0，2比1落后

单摆和复摆

单摆

单摆简谐运动方程： $ \theta =\theta _m cos( \omega t +\psi) $
$ M= \vec{r} \times \vec{F}=-mglsin \theta \approx -mgl \theta $
又因为 $ M=J \alpha =J \frac{d^2 \theta }{dt^2} ,J=ml^2 $
$ \frac{d^2 \theta }{dt^2}=- \frac{g}{l} \theta $
同理可得简谐运动公式，此时 $ \omega ^2= \frac{g}{l} $
周期 $ T=2 \pi \sqrt{ \frac{l}{g}}$

复摆

任意形状，小角度，无摩擦，自由摆动
可以用质心代替，类似成单摆，此时转动惯量J无法确定
$ \omega = \sqrt{ \frac{mgl}{J}}$
$ T=2 \pi \sqrt{ \frac{J}{mgl}}$

三种典型简谐运动频率和周期

|类型|角频率|周期| |——–|——–|———-| |弹簧振子| $ \omega = \sqrt{ \frac{k}{m}} $ | $ T=2 \pi \sqrt{ \frac{m}{k}} $ | |单摆| $ \omega = \sqrt{ \frac{g}{l}} $ | $ T=2 \pi \sqrt{ \frac{l}{g}} $ | |复摆| $ \omega = \sqrt{ \frac{mgl}{J}} $ | $ T=2 \pi \sqrt{ \frac{J}{mgl}} $ |

简谐运动的能量

以弹簧振子为例：运动产生的动能+弹簧形变产生的势能

动能

$E_k= \frac{1}{2}m \omega^2A^2sin^2( \omega t+ \psi)= \frac{1}{2}kA^2sin^2( \omega t + \psi)$
$E_{k_{max}} =\frac{1}{2}kA^2,E_{k_{min}}=0, \overline{E_k}= \frac{1}{4}kA^2 $

势能

$E_p= \frac{1}{2}kx^2= \frac{1}{2}kA^2cos^2( \omega t+ \psi)$
$E_{p_{max}},E_{p_{min}}, \overline{E_p}$ 和动能相同
平均动能，势能计算：对动能表达式从t到t+T对t积分，再除以T

机械能

$E= \frac{1}{2}kA^2= \frac{1}{2}m \omega^2A$
能量守恒推出简谐运动方程
$ \frac{d}{dt}( \frac{1}{2}mv^2+ \frac{1}{2}kx^2)=0 \to$
$ mv \frac{dv}{dt}+kx \frac{dx}{dt}=0 \to$
$ \frac{d^2x}{dt^2} +\frac{k}{m}x=0$

简谐运动的合成

两个同方向同频率的简谐运动的合成

分振动

$x_1=A_1cos( \omega t + \psi_1)$
$x_2=A_2cos( \omega t + \psi_2)$

合振动

$x=x_1+x_2$
$x=Acos( \omega t+ \psi)$
圆频率仍不变

$A= \sqrt{A_1^2+A_2^2+2A_1A_2cos( \psi _2- \psi _1)}$

$tan \psi = \frac{A_1sin \psi _1+A_2sin \psi _2}{A_1cos \psi _1+A_2cos \psi _2}$

两种特殊情况

1.若两分振动同相 $ \psi _2-\psi _1= \pm 2k \pi $,则 $A=A_1+A_2$,两分振动相互加强
2.若两分振动反相 $ \psi _2- \psi _1= \pm (2k+1) \pi$,则 $A=|A_1-A_2|$,两分振动相互减弱

两个相互垂直的同频率简谐运动的合成

分振动

$x=A_1cos( \omega t + \psi_1)$
$y=A_2cos( \omega t + \psi_2)$

合运动

轨迹方程： $ \frac{x^2}{A_1^2}+ \frac{y^2}{A_2^2}-2 \frac{x}{A_1} \frac{y}{A_2}cos(\psi _2 - \psi _1)=sin^2( \psi _2 -\psi _1)$

多个同方向同频率简谐振动的合成

仍为简谐振动， $ x=x_1+x_2+….+x_n $

两个同方向不同频率简谐运动的合成

拍：合振动振幅随周期性加强和减弱的现象
两个频率较大且相差极小的同方向谐振动合成形成拍

阻尼振动，受迫振动，共振

阻尼振动

由于克服阻力做功，振动系统能量不断减少，由于能量与振幅的二次方成正比，振幅逐渐减少，振幅随时间减少的振动叫做阻尼振动。

阻力

物体以不太大的速率在黏性介质中运动时，物体受到的阻力与其运动的速率成正比，即 $ F_r=-Cv$
$ -kx-Cv=ma $
$ m \frac{d^2x}{dt^2}+C \frac{dx}{dt}+kx=0 \to$ $ \frac{d^2x}{dt^2}+2 \delta \frac{dx}{dt} + \omega _0^2x=0$ （1）
固有角频率：$ \omega _0= \sqrt{ \frac{k}{m}}$
阻尼系数：$ \delta = \frac{C}{m} $
$ \to x=Ae^{ \delta t}cos( \omega t + \psi)$ （2）
把（2）代入（1）式得 $ \omega = \sqrt{ \omega _0^2- \delta^2}$